Según tengo entendido, no influye especialmente. La buena letra se suele asociar a cierto perfeccionismo, que puede ayudar al aprendizaje, pero el no tenerla no significa gran cosa... Personalmente mi letras es muy mala, apenas tengo memoria, pero nunca he tenido problemas de aprendizaje, incluso para materias muy duras en Ciencias Físicas... 

De lo que sí hay estudios es que escribir a mano desarrolla mucho más el cerebro infantil, que hacerlo con teclado. Por ello en algunos estados americanos se están abandonando los ordenadores y tablets en la escritura. Es indudable que escribir a mano desarrolla la atención y la motricidad fina.

No existe una respuesta categórica a la pregunta. Se necesitaría un puñado de investigaciones (que no conozco existan) para contestar con precisión. Sí que hay algunos estudios (Mueller y Oppenheimer, 2014) y (Van der Meer y Van der Weel, 2017) que sugieren que escribir a mano (en contraposición a la escritura en pc) mejora el aprendizaje, pero en ningún caso mencionan que la calidad de la letra influya en el aprendizaje o la memoria. Me atrevo a exponer que la obsesión por una caligrafía excelente puede generar estrés, dificultando la concentración en el contenido

Tener una letra clara, legible y formalmente atractiva no requiere solo del proceso de automatización de la escritura. Una persona que escribe con claridad está atendiendo tanto al aspecto formal del mensaje como a su significado. 

Atender al mismo tiempo tanto al significado como a la forma requiere más recursos cognitivos, mayor concentración, más atención. También insume más tiempo. Todos esos esfuerzos adicionales no repercuten solamente en el resultado formal, el aspecto de la escritura; también añaden procesamiento al contenido. 

Tienes, por decirlo gráficamente, más tiempo el filete en la plancha. Particularmente, si tu letra normalmente es poco legible, de trazo irregular, atender a la caligrafía al pasar tus apuntes o tus notas puede mejorar el almacenamiento en tu memoria, tu capacidad de aprendizaje.