La respuesta corta es que no. Aunque las radiografías y otras pruebas diagnósticas como la gammagrafía o el TAC utilizan radiaciones para poder ver dentro de nuestro organismo, no pueden dañar la tiroides ni ningún otro órgano o tejido. 

Cuando nos hacemos una radiografía, la dosis que recibe el organismo es muy pequeña, comparable a la que nuestro cuerpo recibe diariamente de forma natural por el simple hecho de estar vivo. El ser humano está acostumbrado a recibir radiación procedente del sol, del espacio, de las rocas, las plantas, etc. Así que nuestro cuerpo sabe cómo reaccionar a esa radiación, resistirla, e incluso repararla. 

La dosis que recibamos va a depender del tipo de prueba diagnóstica y de la zona que se va a radiografiar. Por ejemplo, en una radiografía dental se puede recibir alrededor de 0,005 mSv (aproximadamente la mitad de la dosis que se recibe de forma natural en un día de vida). En una radiografía de pecho se puede recibir alrededor de 0,02-0,1 mSv (la dosis equivalente a 2 - 10 días de vida), 1,2 mSv en un TAC de cabeza y cuello (12 días) y en un TAC de pecho, unos 6 mSv (la dosis de año y medio a dos años).

Por otro lado, la dosis mínima, acumulada en un año, en la que se pueden empezar a observar un riesgo extra de padecer cáncer es de 100 mSv, y la dosis necesaria para empezar a provocar un daño directo en algunos tejidos es de 400-500 mSv recibidos de una sola vez. Eso quiere decir que necesitarías 1000 radiografías u 83 TAC de cabeza y cuello en un año para aumentar tu riesgo de sufrir cáncer (al nivel de una persona con una ingesta pobre en vegetales o de un fumador pasivo), o 4000 radiografías o 330 TACs de cabeza y cuello seguidos para apreciar un daño directo. Todo esto sin tener en cuenta que hay tejidos más resistentes que otros. La tiroides en concreto es bastante resistente, así que necesitaría mucha más dosis para empezar a dañarse.

Algunos recursos: 

BOOKLET to Provide Basic Information Regarding Health Effects of Radiation (Inglés)
RadiologyInfo.org
Un gráfico muy visual comparando distintos niveles de dosis

Las radiografías se obtienen gracias a la "interacción" de los rayos X con el cuerpo humano.

Los rayos X son radiaciones ionizantes. Esto significa que ionizantes la materia que atraviesan. La radiación ionizante es un tipo de energía que liberan los átomos en forma de ondas electromagnéticas (rayos gamma o rayos X) o partículas (partículas alfa y beta o neutrones) y la energía excedente emitida es una forma de radiación ionizante.

Por encima de ciertos umbrales, la radiación puede afectar el funcionamiento de los órganos y los tejidos, y producir efectos agudos como enrojecimiento de la piel, caída del cabello, quemaduras por radiación o síndrome de irradiación aguda. Estos efectos son más intensos cuanto mayores son la dosis y la tasa de dosis.

La radiación ionizante genera cambios en el parénquima tiroideo, consistente en una fibrosis que afecta a la vascularización y a la propia glándula. Los cambios celulares pueden ocasionar alteraciones que modifican el normal funcionamiento de la glándula, pudiendo provocar enfermedades como el hipotiroidismo.