Sí, un órgano transplantado continúa teniendo el ADN del donante. Esta es la razón por la que las células del órgano transplantado seguirá produciendo antígenos HLA que pueden ser identificados como extraños por los anticuerpos del transplantado (receptor). Por esa razón es muy importante realizar las pruebas de compatibilidad HLA, para minimizar la posibilidad de un rechazo.

Existen ciertas leyendas sobre el ADN del donante introduciendose en el ADN del receptor del transplante, pero eso es completamente falso. Sí se sabe (y esto son investigaciones relativamente recientes) que pequeños fragmentos del ADN del donante se pueden encontrar en la sangre del receptor, pero eso es un fenómeno natural que ocurre cuando celulas dañadas de cualquier órgano mueren. De hecho, se ha demostrado hace poco que en transplantes de riñones, un aumento del ADN en circulación del donante se asocia a una respuesta de rechazo.

En resumen, el ADN del organo transplantado no cambia, y el ADN del donante, tampoco.

Naturalmente que sí. Cada una de las células del organismo trasplantado mantiene su material genético, y por ello, fabrica sus propias proteínas. El hecho de que las HLA de esas células sean distintas a las del receptor hará que siempre haya algo de rechazo (salvo autotrasplantes e isotrasplantes donde, al tratarse de un autoinjerto o de gemelos idénticos, respectivamente, se tiene el mismo ADN).

Sí. El ADN está contenido en el núcleo de cada una de las células del órgano del donante. El núcleo está rodeado de la membrana nuclear y la célula está cubierta por la membrana celular. El ADN no puede cruzar ninguna de estas membranas. 

Todas las células de los seres vivos mantienen el mismo genoma desde que nacen hasta que mueren (salvo que artificialmente se lo cambiemos, como se hace con ciertas clonaciones). Por tanto, el órgano trasplantado tendrá todas sus células con un genoma diferente al del organismo aceptor. De ahí que sea tan importante que donante y receptor sean compatibles (es decir, que tengan antígenos HLA que no se reconozcan como extraños) para evitar los rechazos, y para evitar que la medicación inmunodepresora no tenga que ser muy potente (lo que pondría en riesgo la salud del receptor ante cualquier infección). Que unas células invadan otras solo es tema de ciencia ficción, no ocurre en la realidad. Sí tenemos macrófagos que se comen las células extrañas (y podrían comerse el tejido trasplantado, lo que provoca el rechazo), pero no para cambiar el ADN ni nada parecido, sino para defendernos.

Otro aspecto es que si el órgano trasplantado es de alguien más viejo que el receptor, podría ocurrir que el órgano entre en senescencia y deje de funcionar antes que el resto del organismo receptor por culpa de la longitud de los telómeros. Pero esta es otra historia poco probable, sobre todo porque es más frecuente que el receptor sea mayor que el donante.